Le Modèle Black-Scholes

Importance historique et économique

Il fut publié en 1973, et constituait le prolongement de travaux réalisés par Paul Samuelson et Robert Merton. Le mathématicien français Louis Bachelier avait inauguré l'étude du sujet en 1900. L'intuition fondamentale de Black et Scholes fut de mettre en rapport le prix implicite de l'option et les variations de prix de l'actif sous-jacent. Leur découverte eut très rapidement une influence considérable, et des déclinaisons de leur modèle sont utilisées dans tous les compartiments des marchés financiers. Dès 1977, Oldrich Vasicek s'en inspirait pour fonder la théorie moderne des taux d'intérêt.
Merton et Scholes reçurent en 1997 le prix Nobel d'Economie pour leurs travaux (Fisher Black était, lui, malheureusement mort en 1995).

Modèle de Black-Scholes

La formule de Black-Scholes peut être démontrée rigoureusement si un certain nombre de conditions sont établies. On parle alors de modèle de Black-Scholes, ou on dit qu'on est dans le cas Black-Scholes. Les marchés financiers correspondent assez bien à ce modèle, mais pas exactement bien sûr et, en particulier, contrairement à l'hypothèse centrale du modèle, le temps n'y est pas continu. Il y a donc un certain écart entre ce modèle et la réalité, qui peut devenir important quand les marchés sont agités avec de fréquentes discontinuités de cours.

Les conditions du modèle sont les suivantes :

1. le prix du sous-jacent suit un mouvement brownien géométrique ;
2. la volatilité est connue à l'avance et est constante ;
3. il est possible d'acheter et de vendre le sous-jacent à tout moment et sans frais ;
4. les ventes à découvert sont autorisées (où on emprunte une certaine quantité du sous-jacent pour la vendre) ;
5. il n'y a pas de dividende ;
6. le taux d'intérêt est connu à l'avance et est constant ;
7. l'exercice de l'option ne peut se faire qu'à la date d'échéance, pas avant (option à exercice européen, dite option européenne).

Le modèle de Black et Scholes en pratique

La thèse fondamentale du modèle de Black et Scholes était que le prix de l'option d'achat est indiqué implicitement si le sous-jacent est échangé sur les marchés.
L'utilisation du modèle et de la formule Black-Scholes est très répandue sur les marchés financiers, à tel point que certaines cotations se donnent en niveau de volatilité plutôt qu'en prix absolu. En effet, les autres paramètres du modèle (durée à l'échéance, prix d'exercice, taux d'intérêt sans risque et prix du sous-jacent) sont facilement observables sur les marchés.

Cependant, le modèle de Black et Scholes ne permet pas de modéliser précisément le monde réel. L'expérience montre qu'en réalité la volatilité dépend du prix d'exercice et de la maturité.
En pratique, la surface de volatilité (la volatilité implicite en fonction du prix d'exercice et de la maturité) n'est pas plate. Souvent, pour une maturité donnée, la volatilité implicite par rapport au prix d'exercice a une forme de sourire (appelé le smile de volatilité) : à la monnaie, la volatilité implicite est la plus basse et plus on s'éloigne de la monnaie, plus elle est élevée.
On constate par ailleurs que le smile n'est souvent pas symétrique : plus haut du coté put que du coté call.

Pour un prix d'exercice donné, la différence entre la volatilité implicite observée et celle à la monnaie s'appelle le skew.
La surface de volatilité d’un sous-jacent évolue également dans le temps. Les acteurs du marché la réévaluent sans cesse, modifiant leur anticipation de la probabilité, pour chaque prix d'exercice et maturité, qu'une option ne finisse dans la monnaie.

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